Знаете, проблема решилась очень необычным способом... Переустановка Мозилы ни к чему не привела (возврат к той версии, где раньше "Internet Download Manager" работал без проблем) и другие программы я не торопился устанавливать. Но мне пришлось поделиться компьютером с другим пользователем. Чтобы себя обезопасить, я ему дал возможность заходить как "Приглашенный" и оставил себе вход "Администратора" защищенный паролем. Через неделю этого внедрения, компьютер стал немножко тормозить на несколько секунд, которых оказалось достаточно, чтобы я понял, что с ним что-то не то. Я установил "Аваст!" и проверил на вирусы. Вирусов он не нашел, зато отыскал несколько троянов. Удалил те, в которых действительно сомневался. И любимый "Internet Download Manager" вернулся работать замечательно, как и прежде.